Exemple de gauss seidel

Plus la conjecture est bonne, plus l`algorithme se produira rapidement. La méthode Gauss – Seidel converge parfois même si ces conditions ne sont pas satisfaites. Il est nommé d`après les mathématiciens allemands Carl Friedrich Gauss et Philipp Ludwig von Seidel, et est similaire à la méthode Jacobi. La formule d`élément-sage pour la méthode de Gauss-Seidel est extrêmement semblable à celle de la méthode de Jacobi. Seidel. La procédure se poursuit généralement jusqu`à ce que les modifications apportées par une itération soient inférieures à une certaine tolérance, comme un résidu suffisamment petit. De la première équation résolvez pour x1 en termes de x n + 1, x n + 2,…, x n. Dans l`algèbre linéaire numérique, la méthode de Gauss – Seidel, également connue sous le nom de méthode Liebmann ou la méthode de déplacement successif, est une méthode itérative utilisée pour résoudre un système linéaire d`équations. Si nous testons pour la convergence, nous trouverons que l`algorithme diverge. En utilisant les approximations obtenues, la procédure itérative est répétée jusqu`à ce que la précision désirée ait été atteinte. Soyons clairs sur la façon dont nous résolvons ce système. Nous itérons ce processus pour générer une séquence d`approximations de plus en plus meilleures x (0), x (1), x (2),…

et trouver des résultats similaires à ceux que nous avons trouvé par exemple 1. Notez que cette séquence d`itérations converge vers la solution vraie (1,-2, 1) beaucoup plus rapidement que nous avons trouvé dans l`exemple 1 à l`aide de la méthode Jacobi. La solution exacte du système est (1, 2, − 1,1). Pour comparer nos résultats des deux méthodes, nous choisissons à nouveau x (0) = (0, 0,0). Comme dans l`exemple 1, nous arrêtons d`itérer après x (k) − x (k-1), e (k) et | | e (k) | | sont tous de 0 à 3 décimales. En fait, la matrice A est strictement diagonalement dominante (mais pas positive définie). Pour les équations suivantes substituer les valeurs précédentes de XS. Cela signifie que, contrairement à la méthode Jacobi, un seul vecteur de stockage est requis car les éléments peuvent être remplacés comme ils sont calculés, ce qui peut être avantageux pour les problèmes très importants. Maintenant, nous avons T {displaystyle T _ {} ^ {}} et C {displaystyle C _ {} ^ {}} et nous pouvons les utiliser pour obtenir les vecteurs x {displaystyle mathbf {x}} itérativement. Bien qu`il puisse être appliqué à n`importe quelle matrice avec des éléments non nuls sur les diagonales, la convergence n`est garantie que si la matrice est soit en diagonale dominante, soit symétrique et positive définie. Nous résolvons ensuite pour x2 (1) dans la deuxième équation, en utilisant la nouvelle valeur de x1 (1) = 0. En fait, la matrice A n`est ni diagonalement dominante, ni positive définie.

Il n`a été mentionné dans une lettre privée de Gauss à son élève Gerling en 1823. Tout d`abord, nous devons choisir x (0) {displaystyle mathbf {x} ^ {(0)}}: on ne peut que deviner. En outre, les valeurs à chaque itération dépendent de l`ordre des équations originales. Les propriétés de convergence de la méthode Gauss – Seidel dépendent de la matrice A. Voici les solutions approximées après quatre itérations.